Страница подготовлена для занятия по дисциплине "Элементы векторной алгебры в курсе школьной физики" 
Подготовит: Власенко А.П.

Немного истории.

В микромире при взаимодействии элементарных частиц – атомов, молекул – ядерные и электромагнитные взаимодействия являются главенствующими. Наблюдать гравитационное взаимодействие элементарных частиц практически невозможно. Ученым приходится прибегать к очень большим ухищрениям для того, чтобы измерить гравитационное взаимодействие тел, масса которых составляет сотни, тысячи килограмм. Однако в космических масштабах все остальные взаимодействия, кроме гравитационного, практически незаметны. Движение планет, спутников, астероидов, комет, звезд в галактике полностью описывается гравитационным взаимодействием.

Движение космических тел наблюдалось человеком очень давно. Еще в Древней Греции были придуманы модели движения планет Солнечной системы вокруг Солнца. Эти модели были очень сложными, поскольку видимое движение планет по небу описывается очень сложными линиями, они были названы эпициклами. Первая попытка описания вселенной была предпринята в Древней Греции во втором веке нашей эры Птолемеем. 

Он предложил поместить Землю в центр Вселенной, а движения планет описывались большими и малыми кругами, которые были названы эпициклами Птолемея.

Только в XVI веке Коперник предложил заменить геоцентрическую модель мира Птолемея на гелиоцентрическую. То есть поместить Солнце в центр Вселенной и предположить, что все планеты и Земля вместе с ними движутся вокруг Солнца. 

В начале XVII века немецкий астроном Иоганн Кеплер, обработав огромное количество астрономической информации, полученной датским астрономом Тихо Браге, предложил свои эмпирические законы, которые с тех пор носят название законы Кеплера.


Задание № 1.

Какая модель мира является верной: гелиоцентрическая или геоцентрическая? Почему? Участвует ли Земля во вращении относительно центра Млечного Пути?


Первый закон Кеплера.

Все планеты Солнечной Системы движутся по некоторым кривым, которые называются эллипс. Эллипс – это одна из простейших математических кривых, так называемая кривая второго порядка. В Средние века их называли коническими пересечениями – если пересечь конус или цилиндр некоторой плоскостью, то получим ту самую кривую, по которой движутся планеты Солнечной системы.    

Эта кривая (Рис.) имеет две выделенные точки, которые называются фокусы. Для каждой точки эллипса сумма расстояний от нее до фокусов одинакова. В одном из этих фокусов находится центр Солнце (F), ближняя к Солнцу точка кривой (P) носит название перигелий, а самая дальняя (A) – афелий. Расстояние от перигелия до центра эллипса называется большой полуосью, а расстояние от центра эллипса по вертикали до эллипса малой полуосью эллипса.


Задание 2.

Сформулируйте первый закон Кеплера. Предположите, почему движение совершается по эллипсу, а не окружности.


Второй закон Кеплера.

В процессе движения планеты по эллипсу радиус-вектор, соединяющий центр Солнца с этой планетой, описывает некоторую площадь. Например, за время ∆t планета переместилась из одной точки в другую, радиус-вектор описал некоторую площадь ∆S. Второй закон Кеплера гласит: за одинаковые промежутки времени радиус-вектора планет описывают одинаковые площади.

 

 

На рисунке выше изображен угол ∆Θ, это угол поворота радиус-вектора за некоторое время ∆t и импульс планеты, направленный по касательной к траектории, разложенный на две составляющие – составляющая импульса по радиус-вектору и составляющая импульсов, в направлении, перпендикулярном радиус-вектору(⊥).

Произведем вычисления, связанные со вторым законом Кеплера. Утверждение Кеплера, что за равные промежутки проходятся равные площади, означает, что отношение этих величин есть величина постоянная. Отношение этих величин часто называют секторальной скоростью, это скорость изменения положения радиус-вектора. Какова же площадь ∆S, которую заметает радиус-вектор за время ∆t? Это площадь треугольника, высота которого примерно равна радиус-вектору, а основание примерно равно r ∆ω, воспользовавшись этим утверждением, напишем величину ∆S в виде ½ высоты на основание и разделим на ∆t, получим выражение: 

Квадрат расстояния до центра Солнца, умноженный на угловую скорость движения в данный момент времени, есть величина постоянная.

Но если мы умножим выражение r2ω на массу тела m, то получим величину, которую можно представить в виде произведения длины радиус-вектора на импульс в направлении, поперечном к радиус-вектору:

Эта величина, равная произведению радиус-вектора на перпендикулярную составляющую импульса, носит название «момент количества движения».

Второй закон Кеплера есть утверждение о том, что момент количества движения в гравитационном поле – величина сохраняющаяся. Отсюда следует простое, но очень важное утверждение: в точках наименьшего и наибольшего расстояния до центра Солнца, то есть афелий и перигелий, скорость направлена перпендикулярно к радиус-вектору, поэтому произведение радиус-вектора на скорость в одной точке равно этому произведению в другой точке.   

Интерактивная модель второго закона Кеплера:

 


Задание № 3.

Исходя из второго закона Кеплера ответьте на следующие вопросы: 
1. Движение по орбите равноускоренное или равномерное? Ответ обоснуйте.
2. Куда направлена сила "управляющая орбитальным движением" ?


Третий закон Кеплера.

Третий закон Кеплера утверждает, что отношение квадрата периода обращения планеты вокруг Солнца к  кубу большой полуоси есть величина одинаковая для всех планет Солнечной системы. 

На рисунке выше представлены две произвольные траектории планет. Одна имеет явный вид эллипса с длиной полуоси (a), вторая имеет вид окружности с радиусом ®, время обращения по любой из этих траекторий, то есть период обращения, связан с длиной полуоси или с радиусом. А если эллипс превращается в окружность, то большая полуось как раз и становится радиусом этой окружности. Третий закон Кеплера утверждает, что в том случае, когда длина большой полуоси равна радиусу окружности, периоды обращения планет вокруг Солнца будут одинаковыми.

Для случая окружности можно вычислить это отношение, пользуясь вторым законом Ньютона и законом движения тела по окружности, эта константа есть 4π2, деленное на постоянную всемирного тяготения (G) и массу Солнца (M).

Таким образом, видно, что, если обобщить гравитационные взаимодействия, как это сделал Ньютон, и предположить, что все тела участвуют в гравитационном взаимодействии, законы Кеплера можно распространять на движение спутников вокруг Земли, на движение спутников вокруг любой другой планеты и даже на движение спутников Луны вокруг центра Луны. Только в правой части этой формулы буква М будет означать массу того тела, которое притягивает к себе спутники. Все спутники данного космического объекта будут иметь одинаковое отношение квадрата периода обращения (Т2) к кубу большой полуоси (а3). Этот закон может быть распространен на вообще все тела во Вселенной и даже на звезды, из которых состоит наша Галактика.

Рассмотрим интерактивную модель:

 


Задание № 4.

Представим, что в Солнечной системе существует еще одна планета под вымышленным названием XR-12. Период оборота вокруг Солнца планеты XR-12 равен 4,6 земных лет. Определите за какое время свет отраженный от Земли достигнет этой планеты когда Земля будет в точке афелий, а XR-12 в точке перигелий? Ответ запишите с любой точностью.

Задание № 5.

Используя интерактивную модель для демонстрации третьего закона Кеплера, найти скорость Земли в точке перигелий и точке афелий. 


 

E-mail *:
Тема урока *:
Ответ на задание № 1 *:
Ответ на задание № 2 *:
Отчет на задание № 3 *:
Ответ на задание № 4:
Ответ на задание № 5: